MATHÉMATIQUES · TERMINALELa fonctionexponentiellex ↦ exLA DÉFINITIONSa propre dérivéeexp′ = expetexp(0) = 1(0 ; 1)hauteur1En tout point, la pente de la tangenteest égale à la hauteur.LA PROPRIÉTÉ FONDAMENTALEDes sommes aux produitsexp(a + b) = exp(a) × exp(b)DONC, POUR TOUT ENTIER nexp(n) = exp(1)nON NOTEe = exp(1) ≈ 2,718exp(x) = exe2 × e3 = e5les exposants s'ajoutentLA CROISSANCELente, puis explosiveexp(x) > 0 pour tout réel xxVALEUR0112,71827,3895≈ 14810≈ 22 026x augmente de 1 :la valeur est multipliée par e.CE QU'ELLE MODÉLISEUne variation proportionnelleCOMME exp′ = expy′ = k ya pour solutionsy = C ekxbactériesk > 0la population double à intervalles réguliersradioactiviték < 0la quantité diminue de moitié à chaque demi-vieintérêts composésk > 0le capital croît en proportion de lui-mêmePOUR REVENIR EN ARRIÈRELe logarithme népérieny = xexplnln(ex) = xln retrouve l'exposantTEMPS DE DOUBLEMENTekt = 2 donc t = ln 2 / kÀ RETENIRDéfinitionexp′ = exp et exp(0) = 1Propriétéexp(a + b) = exp(a) × exp(b), d'où exp(x) = exModélise y′ = k ybactéries, radioactivité, intérêts composésRéciproqueln(ex) = xJLjeromelabbe.frFiches de connaissance · Mathématiques, TerminaleJL